गणितातला व संख्याशास्त्रातला आधारवड (किरण बर्वे)

तब्बल ५० वर्षं सातत्यानं Combinatorics आणि Combinatorial Design Theory या विषयांमध्ये प्रा. शरच्चंद्र श्रीखंडे यांनी अतुलनीय असं संशोधन केलं. प्रा. श्रीखंडे सरांचं व्यक्तिमत्त्व अभिजात होतं. त्यांचं संशोधनही अभिजात आहे, सौंदर्य उलगडणारं आहे, ऊर्जस्वल परंपरा निर्मिणारं आहे. प्रा. श्रीखंडे सरांचं अलीकडेच (ता. २१ एप्रिल) निधन झालं. त्यानिमित्त त्यांचं हे स्मरण...

प्रदीर्घ असं १०३ वर्षांचं समृद्ध आयुष्य जगून गणित आणि संख्याशास्त्राचा पुराणपुरुष कालवश झाला. सन १९५० पासून पुढची तब्बल ५० वर्षं सातत्यानं Combinatorics आणि Combinatorial Design Theory या विषयांमध्ये अतुलनीय असं संशोधन ज्यांनी केलं ते प्रा. शरच्चंद्र शंकर श्रीखंडे यांचं अलीकडेच (ता. २१ एप्रिल) निधन झालं.

तीन वर्षांपूर्वी त्यांच्या शंभराव्या जन्मदिनाच्या सोहळ्यात विविध देशांमधले संशोधक सहभागी झाले होते. ज्या टेबलवर श्रीखंडे सर त्या वेळी बसले होते त्या टेबलवर प्रकाशझोत होता. मात्र, सर त्या प्रकाशझोतामधून निसटून सहकारी, शिष्य, शिष्यांचे शिष्य यांच्याशी शांतपणे बोलत होते. साहजिकच आहे, ज्यांच्या संशोधनाच्या प्रकाशात संशोधकांच्या तीन पिढ्या उजळून निघाल्या, त्यांना या लौकिक प्रकाशाची इच्छा नसते! तसं बघायला गेलं तर, श्रीखंडे सरांना सन १९५९ मध्येच ‘सेलिब्रिटी स्टेटस’ लाभलं होतं. ऑयलर/यूलर (१७०७ -१७८३) या अत्यंत मोठ्या, मान्यवर गणितीनं वर्तवलेलं भाकीत खोटं असल्याचं प्रा. राजघोष बोस, प्रा. शरच्चंद्र श्रीखंडे आणि प्रा. पीटर कार्टर या त्रयीनं सिद्ध केलं होतं.

ऑयलर (Euler) यांना राजानं एक प्रश्न विचारला होता. तो असा : राजाच्या दरबारात ६ वेगवेगळ्या रेजिमेंट्स आहेत. प्रत्येक रेजिमेंटमध्ये वेगवेगळ्या हुद्द्याचे ऑफिसर आहेत. ६ रांगा आणि ६ ओळींची एक चौरस रचना करायची, जिच्या प्रत्येक रांगेत आणि ओळीत सर्व रेजिमेंटचे ऑफिसर असायला हवेत, तसंच प्रत्येक रांगेत व ओळीत सर्व हुद्द्यांचे ऑफिसर असायला हवेत...
अशा चौरसांना Latin Squares असं म्हणतात. आयुष्याच्या अखेरपर्यंत ऑयलर हे कोडं सोडवू शकले नाहीत. अथक् प्रयत्नांनंतर त्यांनी एक भाकीत किंवा विधान केलं : ‘या प्रकारे दोन स्वतंत्र गुणधर्म एकत्र आणेल असे ६, १०, १४, १८, २२, .... ४ क + २...रांगा आणि ओळी असलेले चौरस तयार करता येणार नाहीत.’
मात्र, हे विधान असत्य आहे असं प्रा. बोस, प्रा. श्रीखंडे आणि प्रा. कार्टर यांनी सन १९५९ मध्ये सिद्ध केलं. ६ व्यतिरिक्त सर्व १०, १४,१८, २२ या आकाराचे Latin Squares करता येतील आणि ते कसे करता येतील ही पद्धत या त्रयीनं शोधली. या संशोधनाला एका प्रतिष्ठेच्या चर्चासत्रात मान्यता मिळाली. सन्मान मिळाला. ही बातमी ‘न्यूयॉर्क टाइम्स’च्या पहिल्या पानावर तिन्ही संशोधकांच्या छायाचित्रांसह तेव्हा झळकली होती. हा दुर्मिळ बहुमान होता.
यासंदर्भात एक आख्यायिका सांगितली जाते. तीनुसार, श्रीखंडे सर ज्या हॉटेलमध्ये उतरले होते, त्याच्या ‘रिसेप्शन’वरच्या वेटरनं त्यांना विचारलं : ‘तुमचाच फोटो ‘न्यूयाॅर्क टाइम्स’ च्या पहिल्या पानावर आला आहे ना? मग खरंच तुम्ही खूप महत्त्वाचं आणि मोलाचं असं काही तरी केलं असणार...!’

हे एक कोडं सोडवलं गेलं आहे असं वाचकांना प्रथमदर्शनी वाटेल. मात्र, हे कोडं गणित आणि संख्याशास्त्रातल्या अत्यंत महत्त्वाच्या अशा
Mutually Orthogonal Latin Square
(MOLS) या संकल्पनेसंबंधीचं आहे, तसंच हे कोडं सोडवताना आधुनिक भूमिती, संख्याशास्त्र, Combinatorics (सान्त वस्तूंच्या रचना करणं, रचनांची संख्या मोजणं) या तिन्ही शाखांचा उपयोग केला गेला होता. एका शाखेतल्या पद्धतीचा उपयोग वेगळ्या प्रकारचं कूट सोडवण्यासाठी केला जातो तेव्हा ती शाखाही समृद्ध होते, म्हणजेच या शाखा या संशोधनानं विस्तारल्या-वाढल्या, त्याचबरोबर या संशोधनाला प्रसिद्धी मिळाल्यानं Theory of Design कडे अनेक गणितींचं लक्ष वेधलं गेलं. एका अर्थानं Theory of Design च्या अभ्यासाचा नवीन टप्पा सुरू झाला.
हा विषय व्यवहारात अतिशय उपयोगी आहे याचीही जाणीव तेव्हा होऊ लागली होती. एखादं औषध परिणामकारक आहे का, वेगवेगळ्या प्रमाणात खतं आणि पाणी दिलं तर कधी पीक जोमदार येतं, कोणत्या गटाला आपली उत्पादनं आवडतील? अशा विविध प्रश्नांची उत्तरं शोधण्यासाठी नमुनापाहणी करून माहिती गोळा करावी लागते. मात्र, नमुनापाहणीसाठी निवडायचा संच काळजीपूर्वक निवडावा लागतो. प्रश्नांशी संबधित घटक आपण करत असणाऱ्या निरीक्षणांमध्ये योग्य रीतीनं समाविष्ट केले गेले तर आणि सर्व घटकांचा प्रभाव सारखा मोजता येईल हे विचारात घेतलं गेलं तरच निष्कर्ष योग्य असतात. नमुनासंच योग्य पद्धतीनं निवडणं हे Latin Square Design मुळे शक्य होतं. अर्थातच अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, वैद्यकीय संशोधन, शेतीविषयक संशोधनात Latin Square Design चा उपयोग होतो.

वाचकांना आता हेही समजलं असेल की सुडोकू हा एक Latin Square आहे. एकच चौरस नको आहे तर एका चौरसाशी संलग्न विशिष्ट गुणधर्मपालन करणारा चौरसही हवा आहे. तिथंच अडचण होती. अशा प्रकारचं व्यवहारातलं उदाहरण बघू या, जिथं ही रचना शक्य आहे. एका धान्याचे तीन वाण आहेत. त्यांना आपण ‘व १’, ‘व २’, ‘व३’ म्हणू. त्यांच्या वाढीवर रासायनिक, सेंद्रिय खताचा काय परिणाम होतो हे तपासायचं आहे. त्यामुळे कोणतंही खत द्यायचं नाही हेसुद्धा करणं जरुरीचं. याला ‘रा’, ‘सें’ आणि ‘नाही’ असं म्हणू. प्रथम ३ बाय ३ च्या चौरसात पिकाचं वाण मांडू. आणि स्वतंत्रपणे खतंही. आणि मग ते एका वर एक ठेवून आपल्याला उपयोगी अशी रचना तयार करू.

सर्व प्रकारच्या शक्यता आपण या तक्त्यात मांडू शकलो. या चौरसांना Mutually Orthogonal Latin Square (MOLS) असं म्हणतात. ते चौरस एकावर एक बरोबर जुळवले तर वरच्या आणि खालच्या तक्त्यामधल्या एकमेकांवर असलेल्या जोड्यांचा तक्ता तयार होईल. त्यातली प्रत्येक एंट्री ही वेगवेगळी असायला हवी. म्हणजे MOLS तयार झाला आहे. ऑयलर यांच्या विधानानुसार, असे ६ आकाराचे,१० आकाराचे, १४,१८,२२ ... अशा आकारांचे MOLS असू शकत नाहीत. मात्र, या संशोधकत्रयीनं ‘६ सोडून प्रत्येक आकाराचे MOLS असतात,’ हे सिद्ध केलं. इतिहास घडवला.

सन १९५९ मधल्या या Euler Spoiler मुळे प्रतिष्ठा मिळाल्यावर श्रीखंडे सरांनी यांनी काय केलं? आश्चर्य वाटेल; पण अमेरिकेतल्या विविध संधी सोडून ते सन १९६० मध्ये भारतात आले. मुंबई विद्यापीठाच्या गणित विभागाची सुरुवात त्यांच्या नेतृत्वाखाली झाली. नंतर त्यांनी Centre for Advanced Studies in Mathematics ची स्थापना केली. त्याचा विकास केला. त्यानंतर ते काही काळ ‘मेहता रिसर्च इन्स्टिट्यूट’चे संचालक होते. मात्र, या सर्व काळात त्यांचं संशोधन सुरू होतंच. संशोधन ही त्यांची आवड आणि निकड होती, तो त्यांचा आयुष्यभराचा ध्यास होता. श्रीखंडे सरांनी अनेक अमेरिकी विद्यापीठांत अतिथी प्राध्यापक या नात्यानं शिकवलं आणि संशोधनही सुरू ठेवलं.

श्रीखंडे सरांच्या सन १९५० मधल्या पहिल्याच शोधनिबंधात त्यांनी एक पद्धत अधिक व्यापक केली. हळूहळू त्या पद्धतीचा प्रा. घोष, प्रा. कार्टर आणि श्रीखंडे सर यांनी विकास केला. या संशोधनानं संख्याशास्त्रातल्या सुप्रसिद्ध अशा ‘फिशर-यीट्स टेबल’मधल्या रिक्त जागा भरल्या गेल्या. राघव राव, ओगावा, वर्तक, रायझर, हॉल व स्वतः श्रीखंडे सर यांनी या दिशेनं विपुल संशोधन केलं. अशा प्रकारानं नवीन वाट सुरू करून देणाऱ्या संशोधनाला Path-breaker असं म्हणतात. श्रीखंडे सरांचे विद्यार्थी, TIFR मधील माजी प्राध्यापक सिंघवी आणि प्रा. विजयन यांनी सरांच्या संशोधनाचं वैशिष्ट्य पुढीलप्रमाणे सांगितलं आहे : A pattern is visible in the work of Prof. Shrikhande. His main effort has been in the area of Combinatorial Designs and related topics. Several times, he developed path-breaking techniques, generating a lot of activity in the field. He himself continued to pursue them and enjoyed applying them to any new structure he studied. Often he successfully used them to solve well-known problems. याच पद्धतीनं सिंघवी आणि श्रीखंडे सरांनी अनेक वर्षांच्या संशोधनानं एक अधिक व्यापक General रचना, Partial Geometric Design ही तयार केली. ही रचना अतिशय उपयुक्त ठरली. त्याचबरोबर एक अन्य रचना ‘श्रीखंडे ग्राफ’ या नावानं सुप्रसिद्ध आहे.

विभागप्रमुख, संशोधन शाळाप्रमुख, विविध समित्यांचं सदस्यत्व अशी प्रशासकीय किचकट कामं करत असताना श्रीखंडे सराचं संशोधन कुठंही थांबलं नाही. ‘भारतातलं वातावरण पोषक नाही,’ या विचारानं हे संशोधन कधी कोमेजलं नाही. वर उल्लेखिलेलं सन १९६० नंतरचं संशोधन भारतात झालेलं आहे. महत्त्वाचे अनेक संशोधनप्रकल्प श्रीखंडे सरांनी भारतात पूर्ण केले. याशिवाय त्यांनी खूप मोठा ठेवा जगाला आणि भारताला दिला व तो म्हणजे, या विषयात जागतिक पातळीवर संशोधन करणारे अनेक विद्यार्थी! प्रा. व्ही. एन. भट, नायक, प्रा. शरद साने, प्रा. सिंघवी, प्रा. विजयन, प्रा. एस. बी. राव, प्रा. ए. आर. राव असे अनेक विद्यार्थी त्यांनी घडवले. या त्यांच्या नामवंत विद्यार्थ्यांनी पुढची अनेक दशकं उत्तम संशोधन केलं.

श्रीखंडे सरांचं व्यक्तिमत्त्व अभिजात होतंत्यांचं संशोधनही अभिजात आहे, सौंदर्य उलगडणारं आहे, एक ऊर्जस्वल परंपरा निर्मिणारं आहे. आज हे दीप्तिमान व्यक्तिमत्त्व आपल्यात नाही. जगभर त्यांना वंदन करण्यात आलं. त्याच अनेकानेक स्वरांमध्ये आपणही आपला एक कृतज्ञ स्वर नम्रपणे मिसळू या. सरांना नमन करू या.